こんにちは！蟹の目です。今回は以前示した定理を使って、実際に平均値の定理にを示していきたいと思います。この定理は今後微分を学んでいく上で、欠かせないものになっていますので、是非わかってもらえればと思います。 今回の話題 ラグランジュ(Lagrnge)…

こんにちは！蟹の目です。今回は微分法の中でもとても重要な平均値の定理を示すために必要ないくつかの定理について書いていこうと思います。 今回の話題 最大値•最小値の定理 ロル(Roll)の定理 1. 最大値•最小値の定理 関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続なら…

こんにちは！蟹の目です。今回は少し箸休めの感じでいくつかのn次導関数を求めていきたいと思います。覚えておいた方がいいものもありますので、一緒に確認していきましょう。 今回の話題 sinx cosx exsinx sin3xcos2x 1. sinx みなさん、sinxの微分がcosxに…

こんにちは！蟹の目です。今回はライプニッツ(Leibniz)の公式についてきていこうと思います。以前、高次導関数について説明しましたが、今回紹介するこの公式は積のn次導関数を求めるための公式になっています。どんな公式になっているのか確認してみましょ…

こんにちは！蟹の目です。今回は高次導関数について書いていこうと思います。区間Iでf(x)が微分可能なときにf(x)を微分して得られた関数を導関数と呼びました。高次導関数とは、f(x)が何回か微分できるときに出てきます。 高次導関数 区間Iで微分可能なf(x)…

こんにちは！蟹の目です。今回はx,yがそれぞれパラメータ表示されたときの(dy/dx)を示したいと思います。最終的に示される式はとても簡単なので使えるようになっちゃいましょう。 x=φ(t), y=ψ(t)が区間Iで微分可能であるとし、x=φ(t)が区間Iで狭義の単調関数…

こんにちは！蟹の目です。今回は合成関数の微分法についてになっています。わかれば簡単なので、是非使いこなせる武器にしちゃいましょう。 合成関数の微分 関数y=f(x)が区間Iで微分可能で、その値域f(I)で関数z=g(y)が微分可能であるならば、合成関数z=g(f(…

こんにちは！蟹の目です。今回は逆関数の微分法について書いていこうと思います。逆関数が微分できるようになると、逆三角関数など、微分を扱える関数が増えるので、使いこなせるようになっちゃいましょう。 今回の話題 逆関数の微分法 逆三角関数の微分 三…

こんにちは！蟹の目です。今回は導関数の基本性質ともよべる式をいくつか示したいと思います。導関数の定義については前回の記事に記してあるので怪しい方はそちらもご確認ください。微分法の定義 - kaninome’s diary 今回の話題 f(x),g(x)がともに区間Iで微…

こんにちは！蟹の目です。今回から微分法に入っていこうと思います。みなさんは数学IIで既に微分については学んでいると思います。極限と異なり数学IIのままの定義で問題ありません。 微分の定義 関数f(x)のx=aで微分可能とは｛f(a+h)-f(a)}/h (h→0)または{f…

こんにちは！蟹の目です。これまで数列や関数の極限についていろいろ書いてきましたが、今回はコーシー列というものについて紹介したいと思います。このコーシー列は極限を議論することについて結構便利なものになっていますので、ぜひ覚えてもらえたらと思…

こんにちは！蟹の目です。今回は前回に引き続き極限のまとめとして問題をいくつか解いていきたいと思います。記述できるように理解しちゃってください。 今回の問題 a>0とするx1>√aとしてxn+1=(xn+a/xn)/2 (n=1,2,…)とする数列{xn}は収束し、極限値が√aであ…

こんにちは！蟹の目です。これまで、数列や関数の極限についていろいろやってきましたが、今回からそれの集大成としてこれまでより少し難しい問題を解いていこうと思います。極限がわかっているかの確かめだと思って解いてみて下さい。 今回の問題 n√n=1を示…

こんにちは！蟹の目です。今回は以前示した逆三角関数の理解をより深めるために、いくつかの問題を解いていこうと思います。問題自体はあまり難しいものではないので、理解するためだと思って見てみてください。一応、前回示した式を記しておきます。 y=sin-…

こんにちは！蟹の目です。今回は三角関数の逆関数である逆三角関数について書いていこうと思います。今後、何度も見ることになる関数ですのでどんなものなのか理解していきましょう。 今回の話題 狭義の単調関数 三角関数の連続性 逆三角関数とは みなさん、…

こんにちは！蟹の目です。今回は前回に引き続き関数の極限値を求める問題をいくつか解いていこうと思います。今まで示した式を使って解いていくので、そっちの使い方もあわせて理解しちゃいましょう。 今回の問題 (x2-1)/(x3-1)→？ (x→1) {√(x2+x+1)-x}→？ (…

こんにちは！蟹の目です。今回は今まで学んだことを使って、いくつかの極限の問題を解いていこうと思います。また、ただ極限を求めるときはいちいちε-δ論法を使わずに求めます。 今回の問題 √(n+1)-√n→？ (n→∞) (n2+5n+10)/(2n2-2n+1)→？ (n→∞) cos(nπ)/n→？…

こんにちは！蟹の目です。今回は前回に引き続き、覚えておいてもらいたい関数の極限をいくつか紹介したいと思います。今回紹介する式も今後極限を求める際に当たり前のように使用するものなので、ぜひ、覚えていってください。 前回の記事も載せておくので、…

こんにちは！蟹の目です。今回は関数の極限を求めるのに知っておきたい極限の式をいくつか示したいと思います。知らなければ解けない問題に出くわすかもしれませんので、この機会にわかってもらえたらと思います。 今回の話題 sinx/x→1 (x→0) (1+1/x)x→e (x→…

こんにちは！蟹の目です。今回は連続関数における定理、中間値の定理について書いていこうと思います。この定理は、言っている事は当然のようでわざわざいう必要があるのか疑問に思う方もいるかもしれません。ただこの定理、数学的に示そうと思うと、これま…

こんにちは！蟹の目です。今回は関数の連続について書いていきたいと思います。高校までは出てくる関数がほとんど連続だったのであまり意識してきませんでしたが、今後は関数が連続であるかどうかが重要になってきますので、関数が連続であるとはどういうこ…

こんにちは！蟹の目です。今回は関数の極限におけるはさみうちの定理と他いくつかの式について示したいと思います。例によって|l|を避けるため文字をlと変えて示したいと思います。(文字なんて正直なんでもいいですからね…) 今回の話題 f(x)≦h(x)≦g(x), f(x)…

こんにちは！蟹の目です。 今回は関数の極限の定理となるいくつかの式について示していきたいと思います。数列の極限のときはε-N論法を使って定理を示しましたが、今回は関数の極限なので、ε-δ論法で示していきたいと思います。 |l|←絶対値lを避けるために今…

こんにちは！蟹の目です。今回から関数の極限について書いていこうと思います。 数列のときと同じく、数学的に関数の極限について示していきたいと思います。関数の極限は数列の極限と似ている部分があるので、数列の極限を理解した方なら問題ないと思います…

こんにちは！蟹の目です。今回は今まで示したことを踏まえた上で、問題をいくつか解いていきたいと思います。今回の問題も例によって示せ中心になっていますので、頑張っていきましょう。 今回の問題 a>0のときn√a→1(n→∞)を示せ a>0のときan/n!→0(n→∞)を示せ…

こんにちは！蟹の目です。今回は数列の極限の続きで、はさみうちの定理について書いていきたいと思います。他に２つ、示しておきたい式についてもあわせて紹介しますので、一緒に頑張っていきましょう！ 今回の話題 はさみうちの定理 追い出しの定理 発散す…

こんにちは！蟹の目です。今回は極限の基本性質、俗に定理と呼ばれる4つの式について書いていきたいと思います。 今回登場する数列{an}と{bn}はそれぞれan→a (n→∞)bn→b (n→∞)であるとします。 今回の話題 an+bn→a+b(n→∞) anbn→ab(n→∞)、kan→ka(n→∞)( kは定数…

こんにちは！蟹の目です。今回は数列の極限のいくつかの性質について書いていこうと思います。 直感的にわかることもあると思いますので、そりゃそうだな、と思って見てみてください。数列の極限の定義はε-N論法を使用しますので、そちらがまだわかっていな…

こんにちは！蟹の目です。今回から数列の極限に入っていこうと思います。 極限なんて知ってるわ！ limitは流石にわかるw そう思っている方もいるでしょう。ただ、大学数学の極限は少しだけ今までのと異なります。しっかりとした定義づけが必要なのです。 そ…

こんにちは！蟹の目です。 これまで実数の性質についてやってきましたが、今回は少し話題を変えて、大学数学でも度々使われる覚えておきたい式について書いていこうと思います。 今回の話題 三角不等式 |x+y|≦|x|+|y| ||x|-|y||≦|x-y| 二項定理 (1+h)n≧1+nh …