関数の極限の基本性質

　こんにちは！蟹の目です。
　今回は関数の極限の定理となるいくつかの式について示していきたいと思います。
数列の極限のときはε-N論法を使って定理を示しましたが、今回は関数の極限なので、ε-δ論法で示していきたいと思います。

 |l|←絶対値lを避けるために今回はl,mの代わりにp,qを使用します。

今回の話題

1. f(x)→p(x→a)⇔f(x)→p(x→a+0)かつf(x)→p(x→a-0)
2. f(x)→p(x→a), g(x)→q(x→a)とするとき
   (ⅰ){f(x)+g(x)}→p+q (x→a)
   (ⅱ){f(x)g(x)}→pq (x→a) , 特にkf(x)→kp(x→a)(kは定数)
   (ⅲ){f(x)/g(x)}→p/q (x→a)
   (ⅳ)f(x)≦g(x)⇒p≦q

1.　f(x)→p(x→a)⇔f(x)→p(x→a+0)かつf(x)→p(x→a-0)

(十分条件)

　^∀ε>0をとると、仮定から
^∃δ₀>0[0<|x-a|<δ₀⇒|f(x)-p|<ε]

　0<x-a<δ₀のとき
|f(x)-p|<ε
これはf(x)→p (x→a+0)を示す

　0<a-x<δ₀のとき
|f(x)-p|<ε
これはf(x)→p (x→a-0)を示す

(必要条件)

　^∀ε>0をとると、仮定から
^∃δ₁>0[0<x-a<δ₁⇒|f(x)-p|<ε]
^∃δ₂>0[0<a-x<δ₂⇒|f(x)-p|<ε]
δ₀=min(δ₁,δ₂)(>0)をとると(δ₀はδ₁とδ₂の小さい方)

　0<|x-a|<δ₀のとき
|f(x)-p|<ε
これはf(x)→p(x→a)を示す　◾️

2.　f(x)→p(x→a), g(x)→q(x→a)とするとき

(ⅰ){f(x)+g(x)}→l+m (x→a)

^∀ε>0をとると、仮定から
^∃δ₁>0[0<|x-a|<δ₁⇒|f(x)-p|<ε/2]
^∃δ₂>0[0<|x-a|<δ₂⇒|g(x)-q|<ε/2]
δ₀=min(δ₁,δ₂)(>0)をとると

　0<|x-a|<δ0のとき
   |{f(x)+g(x)}-(p+q)|
=|{f(x)-p}+{g(x)-q}|
≦|f(x)-p|+|g(x)-q| (∵三角不等式)
<ε/2+ε/2=ε

よって{f(x)+g(x)}→p+q (x→a)　◾️

　足し算がいえるのなら引き算の場合もいえますよね。
{f(x)±g(x)}→l±m (x→a)　ということです。

(ⅱ){f(x)g(x)}→pq (x→a), 特にkf(x)→kp(x→a)(kは定数)

^∀ε>0をとると、仮定から
^∃δ₁>0[0<|x-a|<δ₁⇒|f(x)-p|<ε]
^∃δ₂>0[0<|x-a|<δ₂⇒|g(x)-q|<ε]

　また、 q-ε<g(x)<q+εであるから
g(x)≦MとなるM>0が 0<|x-a|<δ₂で存在する

∃δ3>0[0<|x-a|<δ₃⇒|g(x)-q|<ε/2(M+|p|)]
^∃δ_1'>0[0<|x-a|<δ_1'⇒|f(x)-p|<ε/2(M+|p|)]

δ₀=min(δ_1',δ3)(>0)をとると

　0<|x-a|<δ0のとき
   |f(x)g(x)-pq|
=|g(x){f(x)-p}+l{g(x)-q}|
≦|g(x)||f(x)-p|+|p||g(x)-q| (∵三角不等式)
≦M|f(x)-p|+|p||g(x)-q|
<(M+|p|)(|f(x)-p|+|g(x)-q|)
<ε/2+ε/2=ε

よって{f(x)g(x)}→pq (x→a)　◾️

一方、k=0のときkf(x)→0=kp (x→a)は明らかに成り立つ

また、^∃δ₁>0[0<|x-a|<δ₁⇒|f(x)-p|<ε/|k|]であるから

   |kf(x)-kp|
=|k||f(x)-p|
<ε

よってkf(x)→kp(x→a)(kは定数)　◾️

(ⅲ){f(x)/g(x)}→p/q (x→a) (q≠0)

　今回もまず、f(x)→p (x→a)⇒1/f(x)→1/p (x→a)を示しましょう。

(ⅲ)'　f(x)→p (x→a)⇒1/f(x)→1/p (x→a)

^∀ε>0をとると仮定から
^∃δ₀>0[0<|x-a|<δ₀⇒|f(x)-p|<ε|p|²/(1+ε|p|)]
p-ε|p|²/(1+ε|p|)<f(x)<p+ε|p|²/(1+ε|p|)
よって0<|p|-ε|p|²/(1+ε|p|)<|f(x)|<|p|+ε|p|²/(1+ε|p|)

　0<|x-a|<δ₀のとき
|1/f(x)-1/p|
=|f(x)-p|/|f(x)p|
<|f(x)-p|/|p||{|p|-ε|p|²/(1+ε|p|)}=ε

よってf(x)→p (x→a)⇒1/f(x)→1/p (x→a)　◾️

　(ⅱ),(ⅲ)'から
1/g(x)→1/q (x→a)であり

   f(x)/g(x) (x→a)
=f(x)*{1/g(x)}
→p*(1/q)=p/q　◾️

(ⅳ)f(x)≦g(x)⇒p≦q

今回はpとqの中点(p+q)/2を考え、背理法で示します。

f(x)≦g(x)である関数f(x),g(x)を考える
ここで、p>qと仮定すると

^∃δ₁>0[0<|x-a|<δ₁⇒|f(x)-p|<(p-q)/2]
^∃δ₂>0[0<|x-a|<δ₂⇒|g(x)-q|<(p-q)/2]

　δ₀=min(δ₁,δ₂)とすると
0<|x-a|<δ0のとき
q-(p-q)/2<g(x)<q+(p-q)/2=p-(p-q)/2<f(x)<p+(p-q)/2から
g(x)<f(x)

　これはf(x)≦g(x)に矛盾
よってf(x)≦g(x)⇒p≦q　◾️

　今回の定理はどうだったでしょうか？
数列のときと似ていますが、δになると分かりにくくも感じますよね。
今回証明した定理はどれも今後問題を解く上で必要になります。定理を理解し、使いこなせるようになりましょう。

また次回！！！