平均値の定理(準備)
こんにちは!蟹の目です。
今回は微分法の中でもとても重要な平均値の定理を示すために必要ないくつかの定理について書いていこうと思います。
今回の話題
1. 最大値•最小値の定理
関数f(x)が有界閉区間[a,b]で連続ならば、f(x)は[a,b]で最大値および最小値をとる。
これが最大値•最小値の定理になります。
この定理は実数の連続性から成り立つことが分かりますが、詳しい証明や解説はここでは割愛しまして、また別の機会に書きたいと思います。
今回は、この定理が成り立つのを認めて、先の話に進みたいと思います。
2. ロル(Roll)の定理
関数f(x)は[a,b]で連続、(a,b)で微分可能で、f(a)=f(b)ならば、
f'(c)=0 (a<c<b) を満たすcが存在する。
これがロルの定理になります。
今回はこの定理を示していきたいと思います。
f(x)が[a,b]で定数のときは明らかに成り立つことが分かりますね。
f(x)が[a,b]で定数でない場合を考えていきましょう。
f(a)=f(b)よりも大きくなるf(x)があるとします。(∵f(x)は定数でないので)
このとき、1の定理からf(x)には最大値が存在します。
このときのxの値をcとすると(a<c<b)
c+h∈[a,b]のどんなhに対しても(h≠0)
f(c+h)≦f(c)であるから (∵f(c)は最大値)
h>0のとき
{f(c+h)-f(c)}/h≦0から{f(c+h)-f(c)}/h≦0 (h→+0)
h<0のとき
{f(c+h)-f(c)}/h≧0から{f(c+h)-f(c)}/h≧0 (h→-0)
f(x)は仮定からx=cで微分可能なので
{f(c+h)-f(c)}/h≦0 (h→+0)={f(c+h)-f(c)}/h≧0 (h→-0)
これはf'(c)=0を満たします。 ◾️
最小値も当然存在しますので、そっちからでも同様に示せますね。
ちなみに、なぜ閉区間での連続なのかというと、連続を開区間のみで定めてしまうと、定理が成り立たない反例が存在してしまうからです。
興味があれば反例を考えてみてください。
今回の内容はどうだったでしょうか?
最大値•最小値の定理の証明を飛ばしたので納得しきれない方もいるかもしれませんが、しばらくはこれで理解しておいてもらえたらと思います。
平均値の定理というとても重要な定理を証明するために使う道具を今回示しました。
平均値の定理を証明するために、今日紹介した定理をある程度理解してもらえたらと思います。