知っておきたい関数の極限1
こんにちは！蟹の目です。
今回は関数の極限を求めるのに知っておきたい極限の式をいくつか示したいと思います。知らなければ解けない問題に出くわすかもしれませんので、この機会にわかってもらえたらと思います。
今回の話題
1. sinx/x→1 (x→0)
0<x<π/2とすると上図の△OAB,扇型OAB,△OACの面積を比較すると
△OAB=sinx/2, 扇型OAB=x/2, △OAC=tanx/2であるから
sinx/2<x/2<tanx/2
よって
1<x/sinx<1/cosx
すなわち
1>sinx/x>cosx
はさみうちの定理から(∵cosx→1 (x→0))
sinx/x→1 (x→+0)
これは、-π/2<x<0のときにも成り立つので、
sinx/x→1 (x→0) ◾️
2. (1+1/x)x→e (x→±∞)
任意のx>1に対してn≦x<n+1を満たす自然数nをとると
(1+1/x)x≦(1+1/n)x<(1+1/n)n+1
(1+1/x)x>{1+1/(n+1)}x≧{1+1/(n+1)}nであるから
{1+1/(n+1)}n+1{1+1/(n+1)}-1<(1+1/x)x<(1+1/n)n(1+1/n)
ここでx→∞とするとn→∞となり、はさみうちの定理から
(1+1/x)x→e (x→+∞)
また、x→-∞のときはt=-xとおくとt→+∞であるから
(1+1/x)x={t/(t-1)}t
={1+1/(t-1)}t-1{1+1/(t-1)}
→e*1=e (x→-∞)
よって(1+1/x)x→e (x→±∞) ◾️
3. x√(1+x)→e (x→0)
x=1/tとおくと
x√(1+x) (x→±0)=(1+1/t)t (t→±∞)
=e (∵2の式) ◾️
今回の話題はどうだったでしょうか？
今回示した式はいちいち証明しなくても使うような式たちです。ぜひ覚えてもらえればと思います。次回も今回同様、いくつかの極限の式について紹介しようと思います。
