導関数の基本性質

　こんにちは！蟹の目です。
今回は導関数の基本性質ともよべる式をいくつか示したいと思います。
導関数の定義については前回の記事に記してあるので怪しい方はそちらもご確認ください。微分法の定義 - kaninome’s diary

今回の話題

f(x),g(x)がともに区間Iで微分可能であるとする

1. {f(x)+g(x)}'=f'(x)+g'(x)
2. {kf(x)}'=kf'(x)
3. {f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
4. {f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/g(x)² (g(x)≠0)
5. 特に{1/g(x)}'=-g'(x)/g(x)² (g(x)≠0)

1.　{f(x)+g(x)}'=f'(x)+g'(x)

　仮定から
{f(x+h)-f(x)}/h→f'(x) (h→0)
{g(x+h)-g(x)}/h→g'(x) (h→0)

　(1/h)[{f(x+h)+g(x+h)}-{f(x)+g(x)}]
=(1/h)[{f(x+h)-f(x)}+{g(x+h)-g(x)]
= {f(x+h)-f(x)}/h+ {g(x+h)-g(x)}/h
→f'(x)+g'(x) (h→0)　◾️

2.　{kf(x)}'=kf'(x)

　(1/h){kf(x+h)-kf(x)}
=k*{f(x+h)-f(x)}/h
→kf'(x) (h→0)　◾️

3.　{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

　(1/h){f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}
=(1/h){f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}
=(1/h){f(x+h)-f(x)}g(x+h)+(1/h){g(x+h)-g(x)}f(x)
→f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (h→0)　◾️

4.　{f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/g(x)² (g(x)≠0)

これを示すためにまず

5.　{1/g(x)}'=-g'(x)/g(x)² (g(x)≠0)

を示す
　(1/h)[{1/g(x+h)}-{1/g(x)}]
=[{g(x)-g(x+h)}/h]*{1/g(x+h)g(x)}
→-g'(x)/g(x)² (h→0)　◾️　(∵関数g(x)は微分可能なので連続で、g(x+h)→g(x) (h→0))

　もうわかりますね
3,5から
{f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/g(x)²  ◾️

　今回の話はどうだったでしょうか？
微分する上で当たり前のように使う定理なので、是非使いこなせるようになりましょう。今後、もっと難しい定理も出てくるのでしっかり理解していきましょう。

また次回！！！