逆関数の微分法
こんにちは！蟹の目です。
今回は逆関数の微分法について書いていこうと思います。逆関数が微分できるようになると、逆三角関数など、微分を扱える関数が増えるので、使いこなせるようになっちゃいましょう。
今回の話題
1. 逆関数の微分法
関数y=f(x)が区間Iで狭義の単調関数で微分可能であるとする。
Iでf'(x)≠0であるなら逆関数x=f-1(y)は区間J=f(I)(f(x)の値域)で微分可能で
dx/dy=1/(dy/dx) で表せる。
本来、dx,dyというのは分数のように扱えない記号なのですが、逆関数が定義される今回のようなときにはまるで分数のように計算ができてしまうということです。
実際に示してみましょう！
f(x)は区間Iで狭義の単調関数かつ微分可能、すなわち連続なので、逆関数が存在しますね。(x=f-1(y))
x1をI内の任意の点としてy1=f(x1)とすると
x1=f-1(y1)
ここで
{f-1(y)-f-1(y1)}/(y-y1) (y→y1)=(x-x1)/{f(x)-f(x1)} (x→x1)
→1/f'(x1) (x→x1)
=1/f'(f-1(y1))
x1は区間I内の任意の点だから区間I内の全てのxで同じ式が成り立つ
よって{f-1(y)}'=1/f'(x)=1/f'(f-1(y)) ◾️
上で最後に出した式は dx/dy=1/(dy/dx)を示しているのですが、正直文字だけだと何を言っているのかわかりにくいところがあります。
なので具体例を挙げて確認してみましょう。
2. 逆三角関数の微分
以前記事にも書いた逆三角関数を覚えていますか？
あれは三角関数の逆関数なので、上でいった方法で微分することが可能です。今回はすべて主値(0を含むような定義域の取り方)のもと逆三角関数を微分してみましょう。
sin-1x=y (-1<x<1)とおくと
x=siny (-π/2<y<π/2)
dsin-1x/dx=1/(siny)'
=1/cosy
=1/√(1-sin2y) (∵cosy>0)
=1/√(1-x2) ◾️
cos-1x=y (-1<x<1)とおくと
x=cosy (0<y<π)
dcos-1x/dx=1/(cosy)'
=1/-siny
=-1/√(1-cos2y) (∵siny>0)
=-1/√(1-x2) ◾️
tan-1x=y (-π/2<x<π/2)とおくと
x=tany (-∞<y<∞)
dtan-1x/dx=1/(tany)'
=cos2y
=1/(1+tan2y)
=1/(1+x2) ◾️
3. 三角関数の微分
先ほど当然のように三角関数を微分した結果を使っていますが、三角関数の微分を知らない方のために一応三角関数の微分も示しておきたいと思います。
(sinx)'={sin(x+h)-sin(x)}/h (h→0)
=2[cos{(2x+h)/2}sin(h/2)]/h (h→0)
=cos(x+h/2)sin(h/2)/(h/2) (h→0)
=cosx ◾️
(cosx)'={cos(x+h)-cos(x)}/h (h→0)
=-2[sin{(2x+h)/2}sin(h/2)]/h (h→0)
=-sin(x+h/2)sin(h/2)/(h/2) (h→0)
=-sinx ◾️
(tanx)'=(sinx/cosx)'
={(sinx)'cosx-sinx(cosx)'}/cos2x (∵導関数の基本性質)
=(cos2x+sin2x)/cos2x
=1/cos2x ◾️
これで三角関数および、逆三角関数を微分することが出来るようになりましたね。
今後、微分をしたり、積分をするときに必要になってくるのでしっかり使えるようになりましょう。
逆関数の微分は式を覚えるよりも、実際に用いているうちに使いこなせるようになっていくと思いますので、今は逆三角関数の微分の結果だけでも覚えてもらえたらと思います。
