極限の演習問題2

 こんにちは！蟹の目です。
今回は前回に引き続き関数の極限値を求める問題をいくつか解いていこうと思います。
今まで示した式を使って解いていくので、そっちの使い方もあわせて理解しちゃいましょう。

今回の問題

1. (x²-1)/(x³-1)→？ (x→1)
2. {√(x²+x+1)-x}→？ (x→∞)
3. sin3x/x→？ (x→∞)
4. (1+x+x²)^1/x→？ (x→0)
5. {x²sin(1/x)}/sinx→？ (x→0)

1.　(x²-1)/(x³-1)→？ (x→1)

　(x²-1)/(x³-1)={(x+1)(x-1)}/{(x-1)(x²+x+1)}
　　　　　　  =(x+1)/(x²+x+1)

　よって
(x²-1)/(x³-1) (x→1)=(x+1)/(x²+x+1) (x→1)
　　　　　　　　 →(1+1)/(1+1+1)=2/3　◾️

2.　{√(x²+x+1)-x}→？ (x→∞)

　{√(x²+x+1)-x}={(x²+x+1)-x²}/{√(x²+x+1)+x}
　　　　　　　 =(x+1)/{√(x²+x+1)+x}

　よって
{√(x²+x+1)-x} (x→∞)=(x+1)/{√(x²+x+1)+x} (x→∞)
　　　　　　　　　  =(1+1/x){√(1+1/x+1/x²)+1} (x→∞)
　　　　　　　　　  →1/(1+1)=1/2　◾️

3.　sin3x/x→？ (x→∞)

　-1≦sin3x≦1であるから
-1/x≦sin3x/x≦1/x

　はさみうちの定理から　(∵±1/x→0 (x→∞))
sin3x/x→0 (x→∞)　◾️

4.　(1+x+x²)^1/x→？ (x→0)

　(1+x+x²)^1/x=yとおく

　logy=(1/x)log(1+x+x²)
{(1/x+x²)log(1+x+x²)}(1+x)→1であるから
logy→1(x→0)

すなわちy→e　◾️

5.　{x²sin(1/x)}/sinx→？ (x→0)

{x²sin(1/x)}/sinx=(x/sinx)*xsin(1/x)

　ここで
0≦|xsin(1/x)|≦|x|であるから
はさみうちの定理から
xsin(1/x)→0 (x→0)

　また
x/sinx→1 (x→0)であるから

{x²sin(1/x)}/sinx (x→0)=(x/sinx)*xsin(1/x) (x→0)
　　　　　　　　　　→1*0=0　◾️

　今回の問題はどうだったでしょうか？
今回解いた問題もサイエンス社の「微分積分概論[新訂版]」に載っています。
これまで示した式をいくつか使いましたね。0/0の形から変形をして極限を求められるようにする必要がありますね。今回はそれほど難しい問題ではありませんが、今後難しい極限も求められるように一緒に頑張りましょう。

また次回！！！