kaninome’s diary

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平均値の定理

 こんにちは!蟹の目です。
今回は以前示した定理を使って、実際に平均値の定理にを示していきたいと思います。
この定理は今後微分を学んでいく上で、欠かせないものになっていますので、是非わかってもらえればと思います。

 

今回の話題

  1. ラグランジュ(Lagrnge)の平均値定理
  2. コーシー(Cauchy)の平均値定理

 

 

 

1. ラグランジュ平均値定理

 関数f(x)が[a,b]で連続で(a,b)で微分可能ならば
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c) を満たすc(a<c<b)が存在する

 これがラグランジュ平均値定理になります。
(ここまで極限や微分を学習してきた皆さんなら分かっているかもしれませんが、
{f(b)-f(a)}/(b-a)は2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きで、
f'(c)は点cにおける関数f(x)の接線を表していますね。)

 では、実際に証明していきましょう。

関数f(x)が[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であるときを考える。
{f(b)-f(a)}/(b-a)=Kとして
F(x)=f(x)-f(a)-K(x-a)とおく
F(x)は[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であり、
F(a)=F(b)=0である。 (代入してみれば分かります)

 よって、Rollの定理より
F'(c)=0 であるc(a<c<b)が存在する

 よってF(x)にx=cを代入して
F'(c)=f'(c)-K=0
すなわちf'(c)=K={f(b)-f(a)}/(b-a) ◾️

 

 これで証明は終了しますが、この平均値の定理は理系の方なら既に知っている方もいるかもしれません。(証明に実数の連続性が欠かせませんが…)

 

 

 

2. コーシー(Cauchy)の平均値定理

 次に、ラグランジュ平均値定理を少し一般化した形での平均値の定理である、
コーシーの平均値定理を示したいと思います。

 

 関数f(x),g(x)が[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であり、
(a,b)でg'(x)≠0のとき
{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}=f'(c)/g'(c) を満たすc(a<c<b)が存在する

 これがコーシーの平均値定理になります。では、示していきましょう。

 まず、g(a)=g(b)のときRollの定理からg'(c)=0となるc(∈(a,b))が存在するため、
仮定のg'(x)≠ 0と矛盾するためg(a)≠g(b)である。

 ここで、K={f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}として、
F(x)=f(x)-f(a)-K{g(x)-g(a)}とすると
F(x)は[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であり、
F(a)=F(b)=0 (こちらも代入してみてください)

 よって、Rollの定理より
F'(c)=0 であるc(a<c<b)が存在する。

 よって、F(x)にx=cを代入して
F'(c)=f'(c)-Kg'(c)=0
すなわちf'(c)/g'(c)=K={f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)} ◾️

 

 

 今回の内容はどうだったでしょうか?
KやF(x)のおき方をずるいと思う方もいるかもしれません。ただ、これで定理がなりったていることは確かなので、文字のおき方もあわせて平均値の定理を示せるようになってもらえればと思います。何度も言う通り、この定理はすごく大事な定理になっていますので、確実に理解してもらえたらと思います。

また次回!!!

平均値の定理(準備)

 こんにちは!蟹の目です。
今回は微分法の中でもとても重要な平均値の定理を示すために必要ないくつかの定理について書いていこうと思います。

 

今回の話題

  1. 最大値•最小値の定理
  2. ロル(Roll)の定理

 

 

1. 最大値•最小値の定理

 関数f(x)が有界区間[a,b]で連続ならば、f(x)は[a,b]で最大値および最小値をとる。

これが最大値•最小値の定理になります。
この定理は実数の連続性から成り立つことが分かりますが、詳しい証明や解説はここでは割愛しまして、また別の機会に書きたいと思います。
 今回は、この定理が成り立つのを認めて、先の話に進みたいと思います。 

 

 

2. ロル(Roll)の定理

 関数f(x)は[a,b]で連続、(a,b)で微分可能で、f(a)=f(b)ならば、
f'(c)=0  (a<c<b) を満たすcが存在する。

これがロルの定理になります。
今回はこの定理を示していきたいと思います。

 

f(x)が[a,b]で定数のときは明らかに成り立つことが分かりますね。
f(x)が[a,b]で定数でない場合を考えていきましょう。

 f(a)=f(b)よりも大きくなるf(x)があるとします。(∵f(x)は定数でないので)
このとき、1の定理からf(x)には最大値が存在します。
このときのxの値をcとすると(a<c<b)
c+h∈[a,b]のどんなhに対しても(h≠0)
f(c+h)≦f(c)であるから (∵f(c)は最大値)

 h>0のとき
{f(c+h)-f(c)}/h≦0から{f(c+h)-f(c)}/h≦0 (h→+0)

 h<0のとき
{f(c+h)-f(c)}/h≧0から{f(c+h)-f(c)}/h≧0 (h→-0)

f(x)は仮定からx=cで微分可能なので
{f(c+h)-f(c)}/h≦0 (h→+0)={f(c+h)-f(c)}/h≧0 (h→-0)

これはf'(c)=0を満たします。 ◾️

 最小値も当然存在しますので、そっちからでも同様に示せますね。

 

ちなみに、なぜ閉区間での連続なのかというと、連続を開区間のみで定めてしまうと、定理が成り立たない反例が存在してしまうからです。
興味があれば反例を考えてみてください。

 

 今回の内容はどうだったでしょうか?
最大値•最小値の定理の証明を飛ばしたので納得しきれない方もいるかもしれませんが、しばらくはこれで理解しておいてもらえたらと思います。
 平均値の定理というとても重要な定理を証明するために使う道具を今回示しました。
平均値の定理を証明するために、今日紹介した定理をある程度理解してもらえたらと思います。

また次回!!!

覚えておきたいn次導関数

 こんにちは!蟹の目です。
今回は少し箸休めの感じでいくつかのn次導関数を求めていきたいと思います。
覚えておいた方がいいものもありますので、一緒に確認していきましょう。

 

今回の話題

  1. sinx
  2. cosx
  3. exsinx
  4. sin3xcos2x

 

 

1. sinx

 みなさん、sinxの微分がcosxに、cosxの微分が-sinxになることは知っていますね。
これと、cosx=sin(x+π/2),  -sinx=sin(x+π),  sinx=sin(x+2π)を使えば
sinxのn次導関数を求めることができます。

(sinx)'=cosx=sin(x+π/2)
(sinx)''={sin(x+π/2)}'=sin{(x+π/2)+π/2}=sin(x+2*π/2)
(sinx)(3)={sin(x+π)}'=sin{(x+π)+π/2}=sin(x+3*π/2)

以下これを繰り返すと、
(sinx)(n)=sin(x+nπ/2) であることが分かります。

 

 

2. cosx

 cosxのn次導関数はsinxのときと同じように求めることができます。

(cosx)'=-sinx=cos(x+π/2)
(cosx)''={cos(x+π/2)}'=cos{(x+π/2)+π/2}=cos(x+2*π/2)
(cosx)(3)={cos(x+π)}'=cos{(x+π)+π/2}=cos(x+3*π/2)

以下これを繰り返すと、
(cosx)(n)=cos(x+nπ/2) であることが分かりますね。

 

 

3. exsinx

 y=exsinxのn次導関数を求めてみましょう。

y'=ex(sinx+cosx)
   =√2exsin(x+π/4) (∵三角関数の合成)

y''={√2exsin(x+π/4)}'
    =(√2)2exsin{(x+π/4)+π/4}
    =(√2)2exsin(x+2*π/4)
y(3)={(√2)2exsin(x+2*π/4)}'
       =(√2)3exsin{(x+2*π/4)+π/4}
       =(√2)3exsin(x+3*π/4)

以下これを繰り返すと、
(exsinx)(n)=(√2)nexsin(x+nπ/4) であることが分かります。

 

 

4. sin3xcos2x

 y=sin3xcos2xのn次導関数を考えてみましょう。
y=(sin5x+sinx)/2 (∵三角関数の積和の公式)
であるから

1で求めた結果を使って

y(n)={(sin5x)(n)+(sinx)(n)}/2
       ={5nsin(5x+nπ/2)+sin(x+nπ/2)}/2
であることが分かります。(sin5xの5が前に出るのに注意してください)

 

 

 今回の内容はどうだったでしょうか?
sinxやcosxのn回微分は覚えておくべきものなので、ぜひ自分で示すことができるくらいになっちゃってください。今後も微分法を学習する上で覚えておくべきことなどを書いていこうと思うので、一緒に微分をマスターできればなと思います。

また次回!!!

ライプニッツの公式

 こんにちは!蟹の目です。
今回はライプニッツ(Leibniz)の公式についてきていこうと思います。
以前、高次導関数について説明しましたが、今回紹介するこの公式は積のn次導関数を求めるための公式になっています。どんな公式になっているのか確認してみましょう。

 

 n次導関数を求めることにおいて厄介なのが積の微分です。
和や差のn次導関数はそれぞれ微分してから和や差を取れば良いのですが、
({f(x)+g(x)}(n)=f(x)(n)+g(x)(n))
積の微分の場合、そう簡単にはいきません。
({f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)でしたね)

 

 そこで積の形で表された関数のn次導関数を求めるための式としてライプニッツの公式が用いられます。

 

ライプニッツの公式

 実際にライプニッツの公式がどんな形になっているのか紹介します。
式の簡略化のためにf(x)をf,g(x)をgと表します。

(fg)(n)=nC0f(n)g+nC1f(n-1)g'+nC2f(n-2)g(2)+…+nCnfg(n)

これがライプニッツの公式になります。二項定理に形が似ていますね。

本当にこのような形になるのか実際に示していきましょう。

 

 数学的帰納法で示したいと思います。

n=1のとき
(fg)'=1C0f'g+1C1fg'
       =f'g+fg'
よって公式は成り立つ。

n=kのときに公式が成り立つとすると
(fg)(k)=kC0f(k)g+kC1f(k-1)g'+kC2f(k-2)g(2)+…+kCkfg(k)

n=k+1のとき
{(fg)(k)}'=(kC0f(k)g)'+(kC1f(k-1)g')'+(kC2f(k-2)g(2))'+…+(kCkfg(k))'
              =kC0{f(k+1)g+f(k)g'}+kC1{f(k)g'+f(k-1)g(2)}
                +…+kCk-1{f(2)g(k-1)+f'g(k)}+kCk{f'g(k)+fg(k+1)}
              =kC0f(k+1)g+(kC0+kC1)f(k)g'+(kC1+kC2)f(k-1)g(2)
                +…+(kCk-1+kCk)f'g(k)+kCkfg(k+1)

kCl-1+kCl=k+1Cl (lは整数;0<l≦k)が成り立ち、kC0=k+1C0,kCk=k+1Ck+1であるから

(fg)(k+1)=k+1C0f(k+1)g+k+1C1f{(k+1)-1}g'+k+1C2f{(k+1)-2}g(2)+…+k+1Ck+1fg(k+1)

 よって公式はk+1のときにも成り立つ
数学的帰納法により、ライプニッツの公式は成り立つ。 ◾️

 

 

 今回の内容はどうだったでしょうか?
ライプニッツの公式は今後、積の形の関数のn回微分するのに大切な公式になります。
ぜひライプニッツの公式を使えるようになって、難しい微分も解けるようになっていきましょう。

また次回!!!

高次導関数

 こんにちは!蟹の目です。
今回は高次導関数について書いていこうと思います。区間Iでf(x)が微分可能なときにf(x)を微分して得られた関数を導関数と呼びました。高次導関数とは、f(x)が何回か微分できるときに出てきます。

 

高次導関数

 区間Iで微分可能なf(x)の導関数f'(x)がIで微分可能であるとき、f(x)はIで2回微分可能であるといいます。f'(x)の導関数{f'(x)}'をf''(x)で表し、f(x)のf(x)の2次導関数といいます。(d2f(x)/dx2などでも表したりします。)
同様に、3次,4次導関数を考えることができます。

 

 一般に、f(x)の(n-1)次導関数微分可能であるとき、f(x)はIでn回微分可能であるといい、f(x)のn次導関数をf(n)(x)と表したりします。
(人によってはn回微分可能をn階微分可能、n次導関数をn階導関数と呼ぶことがあるらしいです。呼び方や書き方は皆さんが先生に習ったものを使ってください。
私は、n回微分、n次導関数の方で書いていきます。)

 

 また、f(n)(x)が連続であるとき、f(x)はn回連続微分可能、あるいはCn級の関数であるといいます。n回微分したとき連続であることを指し、決してn回連続で微分できることではないので注意しておいてください。

 

微分可能と連続微分可能の関係

 f(x)が微分可能⇒f(x)は連続
であることを以前示しましたね。
 当然、f(x)が連続微分可能⇒f(x)は微分可能
が成り立ちます。(1回連続微分可能は単に連続微分可能といいます。)
 また、f'(x)が微分可能⇒f'(x)は連続が成り立つので
f(x)が2回微分可能⇒f(x)が連続微分可能
が成り立ちます。
 つまり、
f(x)がn回微分可能⇒f(x)が(n-1)回連続微分可能⇒f(x)が(n-1)回微分可能⇒…
という関係性があります。

 

 

 今回は高次導関数がどういうものかを書きました。
計算や定理というより、言葉の定義を示しただけなので退屈に感じた方もいるかもしれません。今後は高次導関数をこの定義のもと用いて定理を証明したり導関数を求めたりしますので、今回は高次導関数ってものがあるんだな〜と思ってもらえたらいいです。

 次回以降、実際に高次導関数を求めたりしますので、関数の微分を再度抑えてもらえたらと思います。

また次回!!!

パラメータ表示された関数の微分法

 こんにちは!蟹の目です。
今回はx,yがそれぞれパラメータ表示されたときの(dy/dx)を示したいと思います。
最終的に示される式はとても簡単なので使えるようになっちゃいましょう。

 

 

 x=φ(t), y=ψ(t)が区間Iで微分可能であるとし、
x=φ(t)が区間Iで狭義の単調関数でφ'(t)≠0とする。
このときyはxの関数として微分可能で
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) である。

 上がパラメータ表示された関数を微分する定理になります。
(ψはプサイと読みます。)
合成関数や逆関数微分同様、dy/dxを分数のように扱っていますね。

 

 実際に示してみましょう。
まず、x=φ(t)は狭義の単調関数で微分可能すなわち連続であるから逆関数が存在する。
よってt=φ-1(x)と表せることから
y=ψ(φ-1(x))

ここで合成関数の微分を考える
dy/dx={φ-1(x)}'ψ'(φ-1(x))

次に逆関数微分を考える
dy/dx={1/(dx/dt)}*(dφ-1(x)/dt)
       =(dy/dt)/(dx/dt) ◾️

 

 実際にパラメータ表示された関数の微分を示ましたね。
ここでパラメータ表示された関数の2回微分微分を考えてみましょう。
2回微分とは一回微分して得られた導関数をもう1回微分微分することです。

yをxで2回微分するときd2y/dx2と表したりします。

ここで
d2y/dx2=(d2y/dt2)/(d2x/dt2)としないように注意してください。(間違いです)

実際は
d2y/dx2={d(dy/dx)/dt}/(dx/dt)になります。

 

 例としてx=cos3t, y=sin3tのときの微分を考えてみましょう。

dy/dx=(sin3t)'/(cos3t)'
   =3sin2t*cost/-3cos2t*sint (∵三角関数の合成関数の微分)
   =-tant ◾️

 

d2y/dx2=(-tant)'/(cos3t)'
             =(-1/cos2t)/-3cos2t*sint
             =1/3cos4t*sint ◾️

 

 今回はパラメータ表示された関数の微分を2回微分まで考えて示しました。
今後どれだけ今回示した式を使うかは分かりませんが、xとyをそれぞれ微分するだけなので実際問題を解いてみるとそれほど難しくないですよね。
 今後も微分についての話を続けていきますので、1つずつしっかりと理解していきましょう。

また次回!!!

合成関数の微分

 こんにちは!蟹の目です。
今回は合成関数の微分法についてになっています。わかれば簡単なので、是非使いこなせる武器にしちゃいましょう。

 

 合成関数の微分

 関数y=f(x)が区間Iで微分可能で、その値域f(I)で関数z=g(y)が微分可能であるならば、
合成関数z=g(f(x))は区間Iで微分可能

dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)=g'(f(x))f'(x)で計算可能である。
(f(x)をxで微分することをdf(x)/dxで表している)

 df(x)/dxは分数ではなくて記号です。本来はこのように計算できるとは限らないのですが、関数が微分可能な関数の合成関数であるならばdf(x)/dxがさも分数のように計算できるというわけです。
 それでは本当にこうなるのか確認してみましょう。

 上で記したy=f(x),z=g(y)を考え、z=g(y)はf(x)で微分可能なので

η(k)={g(f(x)+k)-g(f(x))}/k-g'(f(x)) (k≠0)
η(0)=α (αは任意の実数)
とおくと

 上の式の分母を払って
g(f(x)+k)-g(f(x))=kg'(f(x))+kη(k)
g(y)が微分可能なことからη(k)→0 (k→0)
ここでk=f(x+h)-f(x)とおくと
h→0でk→0 (∵f(x)の連続性)

 よって
g(f(x)+{f(x+h)-f(x)})-g(f(x)={f(x+h)-f(x)}{g'(f(x))+η(k)}
両辺をh(≠0)で割ると
{g(f(x+h))-g(f(x))}/h=[{f(x+h)-f(x)}/h]*{g'(f(x))+η(k)}
g'(f(x))=f'(x)g'(f(x))+0 (h→0)
    =f'(x)g'(f(x)) ◾️

 

 

 これで合成関数の微分を示すことができました。
示す過程でしていることについて、少し詳しく説明したいと思います。

 まず、最初に作ったη(k)についてですが、以前の記事で近似を示したときにも使いましたが、g(y)が微分可能なとき、このような関数が都合よく考えられます。
(kを0に限りなく近づけるとη (k)=g'(f(x))-g'(f(x))になりますよね。)


そして、η(0)=αについてですが、αは正直どんな実数でも構いません
ただ、αを考えてあげないとk=0になってしまうようなf(x)のときに
g(f(x)+k)-g(f(x))=kg'(f(x))+kη(k)が考えられなくなってしまいます。

例えばf(x)がある範囲で同じ値を取り続けるような関数のときはf(x+h)-f(x)=0となってしまいます。そうなっても平気なようにαを考えてあげているのです。

 

k=f(x+h)-f(x)についてですが、こんな都合のいいものを仮定していいのか疑問に思う方もいるかもしれません。(そもそもηも勝手に自分でおいたものですが…)
この証明でおいている文字や式はどれもf(x)とg(y)が微分可能ならば毎回考えられるものであることに気づきますか?
 (どの仮定も微分可能や、連続であることと関係のある式ですよね?)

 

つまり、
 こういうkのもとη(k)を考えると微分できるじゃん!
→そのkやη(k)って毎回考えられる!
→じゃあ、最初の条件(f(x)もg(y)も微分可能)であるときいつも
 上で示したことが成り立つ!
ということです。

 

 今回は合成関数の求め方を示しましたが、正直、文字ばっかりだしどんな操作をしているのかも分かりにくいところがあるかもしれません。
 上の証明で合成関数の微分を示せることを知った上で今後問題を解いて合成関数を微分できるようになってもらえればと思います。
 (より詳しく解説が欲しい方や、証明の書き方をしっかり知りたい方は別途質問などしに来てください。方法は問いません)

また次回!!!