平均値の定理
こんにちは！蟹の目です。
今回は以前示した定理を使って、実際に平均値の定理にを示していきたいと思います。
この定理は今後微分を学んでいく上で、欠かせないものになっていますので、是非わかってもらえればと思います。
今回の話題
関数f(x)が[a,b]で連続で(a,b)で微分可能ならば
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c) を満たすc(a<c<b)が存在する
これがラグランジュの平均値定理になります。
（ここまで極限や微分を学習してきた皆さんなら分かっているかもしれませんが、
{f(b)-f(a)}/(b-a)は2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きで、
f'(c)は点cにおける関数f(x)の接線を表していますね。）
では、実際に証明していきましょう。
関数f(x)が[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であるときを考える。
{f(b)-f(a)}/(b-a)=Kとして
F(x)=f(x)-f(a)-K(x-a)とおくと
F(x)は[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であり、
F(a)=F(b)=0である。 (代入してみれば分かります)
よって、Rollの定理より
F'(c)=0 であるc(a<c<b)が存在する。
よってF(x)にx=cを代入して
F'(c)=f'(c)-K=0
すなわちf'(c)=K={f(b)-f(a)}/(b-a) ◾️
これで証明は終了しますが、この平均値の定理は理系の方なら既に知っている方もいるかもしれません。(証明に実数の連続性が欠かせませんが…)
2. コーシー(Cauchy)の平均値定理
次に、ラグランジュの平均値定理を少し一般化した形での平均値の定理である、
コーシーの平均値定理を示したいと思います。
関数f(x),g(x)が[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であり、
(a,b)でg'(x)≠0のとき
{f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}=f'(c)/g'(c) を満たすc(a<c<b)が存在する
これがコーシーの平均値定理になります。では、示していきましょう。
まず、g(a)=g(b)のときRollの定理からg'(c)=0となるc(∈(a,b))が存在するため、
仮定のg'(x)≠ 0と矛盾するためg(a)≠g(b)である。
ここで、K={f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}として、
F(x)=f(x)-f(a)-K{g(x)-g(a)}とすると
F(x)は[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であり、
F(a)=F(b)=0 (こちらも代入してみてください)
よって、Rollの定理より
F'(c)=0 であるc(a<c<b)が存在する。
よって、F(x)にx=cを代入して
F'(c)=f'(c)-Kg'(c)=0
すなわちf'(c)/g'(c)=K={f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)} ◾️
今回の内容はどうだったでしょうか？
KやF(x)のおき方をずるいと思う方もいるかもしれません。ただ、これで定理がなりったていることは確かなので、文字のおき方もあわせて平均値の定理を示せるようになってもらえればと思います。何度も言う通り、この定理はすごく大事な定理になっていますので、確実に理解してもらえたらと思います。
