微分法の定義
こんにちは！蟹の目です。
今回から微分法に入っていこうと思います。
みなさんは数学IIで既に微分については学んでいると思います。極限と異なり数学IIのままの定義で問題ありません。
微分の定義
関数f(x)のx=aで微分可能とは
｛f(a+h)-f(a)}/h (h→0)または{f(x)-f(a)}/(x-a) (x→a)
が存在するときの事をいいます。
関数y=f(x)において点(a,f(a)),(a+h,f(a+h))を考える
{f(a+h)-f(a)}/{(a+h)-a}をこの2点の平均変化率といい、
h→0のときの平均変化率をx=aにおける微分係数といい、f'(a)で表します。
x=aで微分可能であるとき点(a,f(a))を通り、傾きがf'(x)である直線
y-f(a)=f'(a)(x-a)は点(a,f(a))におけるy=f(x)の接線になります。
{f(a+h)-f(a)}/h=f'(a)+ε(h)とおくと
f(a+h)-f(a)=hf'(a)+hε(h)
hε(h)→0 (h→0) であり
ε(h)→0 (h→0)であるからhε(h)/h→0 (h→0)
これはhε(h)がhよりも急速に0に近づく、すなわちh→0のときに
f(a+h)-f(a)=hf'(a)+hε(h)においてhε(h)が他の項に比べて非常に小さい値をとる。
これはf(a+h)≒f(a)+hf'(a)と表せ、a+h=xとおくと
f(x)≒f(a)+(x-a)f'(a)となり、直線の方程式で近似されます。(接線)
極限のときに右側極限と左側極限があったのを覚えていますか？
微分の定義に極限が含まれていることから右微分と左微分が考えられます。
それぞれの名称は微分なんたらの頭に右なり左なりを付けるだけです。
x=aにおける右微分係数をf'+(a),左微分係数をf'-(a)と表します。
当然f(x)がx=aで微分可能である必要十分条件はf'+(a)=f'-(a)になります。
導関数
関数f(x)が区間Iのすべての点で微分可能であるとき、f(x)は区間Iで微分可能であるといい、f(x)の微分係数f'(x)は区間I内でxを定めると値がただ１つに定まるので、
f'(x)はxの関数とみることが出来ます。
こうして得られた関数がみなさんご存知の導関数です。
導関数の表し方はいくつもあります。みなさんのお好きな表記を使っていただければと思います。
また、導関数を求めることを微分するといったりします。
定理 関数f(x)がx=aで微分可能ならば、f(x)はx=αで連続である
f(x)がx=aで微分可能であるとする
f(a+h)-f(a)=({f(a+h)-f(a)}/h)*h
→f'(a)*0=0 (h→0)
x=a+hとおくと
f(x)→f(a) (x→a)となり、f(x)はx=aで連続であることが示される
ちなみにこれの逆の、連続ならば微分可能は必ずしも成り立ちません。
例えばf(x)=|x|なんかがそうです。
実際に確認してみましょう。
f(x)=|x|を考えます
まず、x=0でf(x)が連続かを確かめる
|x|→0 (x→+0), |x|→0 (x→-0)であるから
f(x)→0 (x→0)=f(0)
これはf(x)がx=0で連続である事を示す
次に、x=0でf(x)が微分可能かを確かめる
{f(0+h)-f(0)}/h=f(h)/h
→|h|/h=1 (h→+0)
{f(0+h)-f(0)}/h→|h|/h=-1 (h→-0)
これは{f(0+h)-f(0)}/h (h→0)が存在せず
f(x)がx=0で微分可能でない事を示す ◾️
今回の話はどうだったでしょうか？
数学IIで微分を習った皆さんにとっては元から知っている内容だったかと思います。
微分の定義に含まれる極限はε-δ論法で示した定義になっていますので、そこだけ注意しておいてください。微分は定理や法則がいくつもありますので、一緒に頑張っていきましょう。
