極限の演習問題1

　こんにちは！蟹の目です。
今回は今まで学んだことを使って、いくつかの極限の問題を解いていこうと思います。
また、ただ極限を求めるときはいちいちε-δ論法を使わずに求めます。

今回の問題

1. √(n+1)-√n→？ (n→∞)
2. (n²+5n+10)/(2n²-2n+1)→？ (n→∞)
3. cos(nπ)/n→？ (n→∞)
4. nsin(π/n)→？ (n→∞)
5. {1-1/(n+1)}ⁿ→？ (n→∞)
6. (1-1/n²)ⁿ→？ (n→∞)

1.　√(n+1)-√n→？ (n→∞)

　√(n+1)-√n
={(n+1)-n}/{√(n+1)+√n}
=1/{√(n+1)+√n}

　よって
√(n+1)-√n (n→∞)=1/{√(n+1)+√n} (n→∞)
　　　　　　　　→0 ◾️

2.　(n²+5n+10)/(2n²-2n+1)→？ (n→∞)

　(n²+5n+10)/(2n²-2n+1)
=(1+5/n+10/n²)/(2-2/n+1/n²)

　よって
(n²+5n+10)/(2n²-2n+1) (n→∞)=(1+5/n+10/n²)/(2-2/n+1/n²) (n→∞)
　　　　　　　　　　　　　　→1/2　◾️

3.　cos(nπ)/n→？ (n→∞)

-1≦cosθ≦1であるから
-1/n≦cos(nπ)≦1/n

　当然±1/n→0 (n→∞)であるから
はさみうちの定理から

cos(nπ)/n→0 (n→∞)　◾️

4.　nsin(π/n)→？ (n→∞)

m=1/nとおくと
n→∞⇒m→0

　よって
nsin(π/n) (n→∞)=sin(πt)/m (m→0)
　　　　　　　 ={sin(πt)/πt}π (m→0)
　　　　　　　 →1*π=π　◾️

5.　{1-1/(n+1)}ⁿ→？ (n→∞)

{1-1/(n+1)}ⁿ={n/(n+1)}ⁿ
　　　　　 ={(n+1)/n}^-n
　　　　　 ={(1+1/n)ⁿ}^-1

　よって
{1-1/(n+1)}ⁿ (n→∞)={(1+1/n)ⁿ}^-1 (n→∞)
　　　　　　　　 →e-1=1/e　◾️

6.　(1-1/n²)ⁿ→？ (n→∞)

(1-1/n²)ⁿ={(n²-1)/n²}ⁿ
　　　　={(n+1)/n}ⁿ*{(n-1)/n}ⁿ

　　　　=(1+1/n)ⁿ*(1-1/n)ⁿ

　t=-nとおくと
(1-1/n)ⁿ (n→∞)={(1+1/t)^t}^-1 (t→-∞)
　　　　　　   →e^-1=1/eであるから

(1-1/n²)ⁿ (n→∞)=(1+1/n)ⁿ*(1-1/n)ⁿ  (n→∞)
　　　　　　　→e*(1/e)=1　◾️

　今回の問題はどうだったでしょうか？
今回解いた問題はサイエンス社の「微分積分概論[新訂版]」に載っているので、この本を持っている方にとっては解答例になることでしょう。どちらにせよ、今回のような問題をその場で解けるように極限を頑張っていきましょう。
　次回も今回同様問題を解く予定ですので、一緒に極限を理解しちゃいましょう。

また次回！！！