高次導関数
こんにちは！蟹の目です。
今回は高次導関数について書いていこうと思います。区間Iでf(x)が微分可能なときにf(x)を微分して得られた関数を導関数と呼びました。高次導関数とは、f(x)が何回か微分できるときに出てきます。
高次導関数
区間Iで微分可能なf(x)の導関数f'(x)がIで微分可能であるとき、f(x)はIで２回微分可能であるといいます。f'(x)の導関数{f'(x)}'をf''(x)で表し、f(x)のf(x)の２次導関数といいます。(d2f(x)/dx2などでも表したりします。)
同様に、３次,４次導関数を考えることができます。
一般に、f(x)の(n-1)次導関数が微分可能であるとき、f(x)はIでn回微分可能であるといい、f(x)のn次導関数をf(n)(x)と表したりします。
(人によってはn回微分可能をn階微分可能、n次導関数をn階導関数と呼ぶことがあるらしいです。呼び方や書き方は皆さんが先生に習ったものを使ってください。
私は、n回微分、n次導関数の方で書いていきます。)
また、f(n)(x)が連続であるとき、f(x)はn回連続微分可能、あるいはCn級の関数であるといいます。n回微分したとき連続であることを指し、決してn回連続で微分できることではないので注意しておいてください。
微分可能と連続微分可能の関係
f(x)が微分可能⇒f(x)は連続
であることを以前示しましたね。
当然、f(x)が連続微分可能⇒f(x)は微分可能
が成り立ちます。(１回連続微分可能は単に連続微分可能といいます。)
また、f'(x)が微分可能⇒f'(x)は連続が成り立つので
f(x)が２回微分可能⇒f(x)が連続微分可能
が成り立ちます。
つまり、
f(x)がn回微分可能⇒f(x)が(n-1)回連続微分可能⇒f(x)が(n-1)回微分可能⇒…
という関係性があります。
今回は高次導関数がどういうものかを書きました。
計算や定理というより、言葉の定義を示しただけなので退屈に感じた方もいるかもしれません。今後は高次導関数をこの定義のもと用いて定理を証明したり導関数を求めたりしますので、今回は高次導関数ってものがあるんだな〜と思ってもらえたらいいです。
次回以降、実際に高次導関数を求めたりしますので、関数の微分を再度抑えてもらえたらと思います。
