関数の連続
こんにちは！蟹の目です。
今回は関数の連続について書いていきたいと思います。高校までは出てくる関数がほとんど連続だったのであまり意識してきませんでしたが、今後は関数が連続であるかどうかが重要になってきますので、関数が連続であるとはどういうことなのか理解できるよう頑張りましょう。
今回の話題
1. 関数が連続とは？
まず、関数が連続であることがどういうことか定義します。
f(x)→l(x→a)で、l=f(a)
これが成り立つとき、f(x)はx=aで連続であるといいます。
数学記号を用いてより数学的に書くと、
∀ε>0, ∃δ>0[|x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε]
極限の定義から上が関数が連続であることを示すのが分かりますか？
極限を定義したときは0<|x-a|<δだったのを覚えていますよね？
連続かを確認するときは、x=aで|f(x)-f(a)|=0<εが明らかに成り立つので、
0<は不要になっています。
さらに詳しく連続を考えてみましょう。
f(x)→l(x→a)⇔f(x)→l(x→a+0)かつf(x)→l(x→a-0)
上の式を覚えていますか？
f(x)がx=aで極限がlであるとはf(x)のx=aに対する右側極限と、左側極限がそれぞれlになることと同値でしたね。連続も同じです。
f(x)→l (x→a+0)でl=f(a)のとき
f(x)はx=aで右連続といいます。数学的に書くと
∀ε>0, ∃δ>0[0≦x-a<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε]
また、f(x)→l (x→a-0)でl=f(a)のとき
f(x)はx=aで左連続といいます。数学的に書くと
∀ε>0, ∃δ>0[0≦a-x<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε]
そして、f(x)がx=aで右連続かつ左連続であることは、f(x)はx=aで連続であることと同値なのです。(|x-a|<δにx-a<δとa-x<δが含まれますよね。)
また、区間Xのすべての点で連続であるとき、f(x)は区間Xで連続であるといいます。
定義からわかる通り、aに対応する点は必ずf(x)の定義域内にあります。
定義域外の点bではf(x)は連続になりません。
2. 区間って何？
上でいきなり区間Xというものをいいましたが、区間とはなんのことでしょう。
ここでいう区間とは、次のような形の集合を総称したものになります。
- [a,b]={x;a≦x≦b} (閉区間)
- (a,b)={x;a<x<b} (開区間)
- [a,b)={x;a≦x<b} (右半開区間)
- (a,b]={x;a<x≦b} (左半開区間)
- (-∞,∞)=R (全区間)
は端点を含み、()は端点を含みません
上の定義で言えば、f(x)が閉区間X=[a,b]で連続であるとは、区間Xの端点aで右連続、端点bで左連続であれば良いです。
今後、区間を表すときに(),を使うことがありますので、この表し方を知っておくと便利だと思います。
3. 連続関数の基本性質
(1) f(x),g(x)がx=aで連続であるならば、f(x)±g(x), f(x)g(x), kf(x), f(x)/g(x)もx=aで連続で ある
(2) y=f(x)がx=aで連続, z=g(y)がy=f(a)で連続ならば、合成関数z=g(f(x))もx=aで連続である
(1)についてはここでは証明を割愛します。
以前示した通り、関数の和,差,積,商の極限は極限値の和,差,積,商とそれぞれ等しくなるので、どの関数も連続になりますよね。
例: f(x)→f(a) (x→a), g(x)→g(a) (x→a)
⇒f(x)+g(x)→f(a)+g(a) (x→a) これは連続を示していますよね。
他のも当然連続を示します。
(2) これは、直感的には成り立つことがわかるかもしれませんが、少し丁寧に示してみたいと思います。
そもそも合成関数が何かわかっていますか？
数Ⅲを勉強した方はわかると思いますが、一応ここでは合成関数がどんなものかをこれでもかというほど簡単に述べたいと思います。正しい理解にはならないと思いますので、正しく合成関数を理解したい方は各々合成関数について調べてみてください。
合成関数
合成関数g(f(x))は2つの関数y=f(x), z=g(y)があり、f(x)の値域がg(x)の定義域に含まれているとき、g(y)のyにf(x)を代入して得られる関数のことです。
例: f(x)=x+1, g(x)=x2のとき
g(f(x))=(x+1)2になるということです
さて、元の話に戻りましょう。
y=f(x)はx=aで、z=g(y)はy=f(a)でそれぞれ連続なので、
∀ε1>0, ∃δ1[|x-a|<δ1⇒|f(x)-f(a)|<ε1]
∀ε2>0, ∃δ2[|f(x)-f(a)|<δ2⇒|g(f(x))-g(f(a))|<ε2]
ε1は任意の正の数だからε1<δ2のときにもδ1は存在する
このとき
|x-a|<δ1
⇒|f(x)-f(a)|<ε1<δ2
⇒|g(f(x))-g(f(a))|<ε2
これは、合成関数z=g(f(x))がx=aで連続であることを示す ◾️
今回の内容はどうだったでしょうか？
関数の連続の定義に関数の極限が含まれているので、結局ε-δ論法を使っていますよね？
今までやった実数の連続性や数列の極限、関数の極限に連続など、今後の数学を学ぶ上で必要不可欠なものになっていますので、順番に一つ一つ理解していきましょう。
また、関数の連続は単にグラフがつながっているという認識だと、より複雑化した関数で連続かどうかを議論できなくなります。しっかり、数学的に関数の連続とはどういうことか理解しましょう。
