数列の極限
こんにちは！蟹の目です。
今回から数列の極限に入っていこうと思います。
- 極限なんて知ってるわ！
- limitは流石にわかるw
そう思っている方もいるでしょう。ただ、大学数学の極限は少しだけ今までのと異なります。しっかりとした定義づけが必要なのです。
それでは、数列の極限とはなんなのか実際にやってみましょう！
今回の話題
みなさん数学IIで極限について学んだと思います。
そのときに次のように教わったと思います。
高校までの定義
実数列{an}がa(∈R)に収束するとは
"nを限りなく大きくするとanが限りなくaに近づく"こと
(n→∞のときan→a)
言っていることは何も間違っていません。イメージをするにおいては表現として最適なくらいです。ただ、やれ限りなく大きくだ、やれ限りなく近づくだ、数学としてはあまりに曖昧です。
誰が極限を取っても同じ結果にならなければなりません。
それが今やっている大学数学の数列の極限です。
これからの定義
ここではε-N論法によって数列の極限を定義していきたいと思います。
(εはイプシロンと読みます)
実数列{an}がa(∈R)に収束するとは
"任意の正の数εに対して「すべてのn≧n0に対して|an-a|<ε」を満たすようなn0が存在する"こと
ちなみに、これを数学記号を用いて次のように書くこともできます。
∀ε>0, ∃n0∈N[n≧n0⇒|an-a|<ε]
∀は"任意の"という意味、∃は"存在する"という意味です
よく使う記号なので、覚えておくとよいと思います。
上の定義を見て一目で理解できましたか？
そんな方はこの記事を見ることはないので、より意味あることに時間を使って下さい。
では、上のやつが何を言っているのかわからない前提で話を続けたいと思います。
簡単にいうと
n0番目を超えたら、anはaとの差がεより小さくなることがanがaに収束するということなのです。
では、さっきから出てくるn0だとかεってなんでしょう？
答えは"なんでもいい"です！
n0は自然数であり、εは正の数である、これしか決まっているものはありません。
つまり、
"何番目でもいいn0番以降のanはaとの値の差がどんな大きさのεよりも小さい"
これが成り立てば、数列anはaに収束すると定義されているのです。
まだ何を言っているのか分かりづらいですよね。
図に書いて考えてみましょう。
anがnがn0よりより大きいときに、
上の図のa-εからa+εの範囲内に常にいればよいのです。
では、このときのεについて考えてみましょう。εは任意の正の数です。
つまり、0より大きければめちゃくちゃ小さい数のときもあるのです。εがどんなに小さいときにでも上の図のようになる自然数n0がある、それが数列の極限の定義なのです。
n0番目以降のすべてのanで|an-a|<εが成り立たなければならないことをわかっておきましょう。
数列の極限について理解できましたか？
言っていることは高校までと同じで"限りなく近づく"なのですが、今後証明などで極限を定義するときはε-N論法などを使います。
発散について
収束の延長で数列の発散についても一緒に述べたいと思います。
考え方はほとんど同じです。
実数列{an}が正の無限大に発散するとは
"任意の正の数Mに対して「すべてのn≧n0に対してan>M」を満たすようなn0が存在する"こと
収束を理解したみなさんなら分かりますよね
つまり、
どんなに大きいMよりもn0番目以降のanは大きくなることです。
負の無限大に発散する場合はこれに対称で、
どんなに小さいm<0よりもn0番目以降のanが小さくなることです。
今回は大学数学のいう数列の極限について書きました。
上で言っている実数列とは文字通り実数の数列のことなので特に今は気にする必要はないです。長々と書きましたが、大事なのは定義を覚えることではないので、上の定義を丸暗記するのではなく自分の言葉で書けるように頑張りましょう！
次回から極限の定義を使って定理の証明をしていくので、一緒に数列の極限の定義を理解しましょう！！
