逆三角関数(問題)

　こんにちは！蟹の目です。
今回は以前示した逆三角関数の理解をより深めるために、いくつかの問題を解いていこうと思います。問題自体はあまり難しいものではないので、理解するためだと思って見てみてください。一応、前回示した式を記しておきます。

y=sin^-1x (-1≦x≦1)⇔x=siny (-π/2≦y≦π/2)
y=cos^-1x (-1≦x≦1)⇔x=cosy (0≦y≦π)
y=tan^-1x (-∞<x<∞)⇔x=tany (-π/2<y<π/2)

今回の問題

1. sin^-1x=cos^-1(4/5)となるxを求めよ
2. sin^-1x+cos^-1x=π/2を示せ
3. cos^-1x=tan^-1√5となるxを求めよ
4. sin^-1(3/5)=tan^-1xとなるxを求めよ
5. tan^-1(1/2)+tan^-1(1/3)=π/4を示せ

1.　sin^-1x=cos^-1(4/5)となるxを求めよ

　sin^-1x=cos^-1(4/5)=yとおくと
sin^-1x=yから-π/2≦y≦π/2
cos^-1(4/5)=yから0≦y≦π
よって0≦y≦π/2

　また、siny=x, cosy=4/5であるから
x=√{1-(4/5)²}=3/5　◾️

2.　sin^-1x+cos^-1x=π/2を示せ

　sin^-1x=yとおくと (-π/2≦y≦π/2)
siny=xであり、このときcos(π/2-y)=xである
0≦π/2-y≦πであるからcos^-1x=π/2-y

　よって
sin^-1x+cos^-1x=y+(π/2-y)
　　　　　   =π/2　◾️

3.　cos^-1x=tan^-1√5となるxを求めよ

　cos^-1x=tan^-1√5=yとおくと
cosy=x, tany=√5 (0≦y<π/2)
0<x≦1であるから

1+√5²=1/x²
よってx=1/√6　◾️

4.　sin^-1(3/5)=tan^-1xとなるxを求めよ

　sin^-1(3/5)=tan^-1x=yとおくと
siny=3/5, tany=x (-π/2<y<π/2)
sinyの値から0<y<π/2がわかる

またcos²y=16/25より
tan²y=(25/16)-1=9/16
すなわちtany=x=3/4　◾️

5.　tan^-1(1/2)+tan^-1(1/3)=π/4を示せ

　tan^-1(1/2)=x, tan^-1(1/3)=yとおくと

0<1/2<1かつ0<1/3<1であるから
0<x<π/4, 0<y<π/4

　またtanx=1/2, tany=1/3であるから加法定理を用いて
tan(x+y)=(tanx+tany)/{1-(tanx)(tany)}
　　　   =(1/2+1/3){1-(1/2)*(1/3)}
　　　   =1
よってtan^-1(1/2)+tan^-1(1/3)=x+y=π/4　◾️

　今回の問題はどうだったでしょうか？
解いてみるとそれほど難しくないと思います。問題を解いてみて少しでも逆三角関数に慣れていただければと思います。今後も度々逆三角関数は目にすると思いますので、一緒に理解しちゃいましょう。

また次回！！！