パラメータ表示された関数の微分法
こんにちは！蟹の目です。
今回はx,yがそれぞれパラメータ表示されたときの(dy/dx)を示したいと思います。
最終的に示される式はとても簡単なので使えるようになっちゃいましょう。
x=φ(t), y=ψ(t)が区間Iで微分可能であるとし、
x=φ(t)が区間Iで狭義の単調関数でφ'(t)≠0とする。
このときyはxの関数として微分可能で
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) である。
上がパラメータ表示された関数を微分する定理になります。
(ψはプサイと読みます。)
合成関数や逆関数の微分同様、dy/dxを分数のように扱っていますね。
実際に示してみましょう。
まず、x=φ(t)は狭義の単調関数で微分可能すなわち連続であるから逆関数が存在する。
よってt=φ-1(x)と表せることから
y=ψ(φ-1(x))
ここで合成関数の微分を考える
dy/dx={φ-1(x)}'ψ'(φ-1(x))
次に逆関数の微分を考える
dy/dx={1/(dx/dt)}*(dφ-1(x)/dt)
=(dy/dt)/(dx/dt) ◾️
実際にパラメータ表示された関数の微分を示ましたね。
ここでパラメータ表示された関数の２回微分微分を考えてみましょう。
２回微分とは一回微分して得られた導関数をもう１回微分微分することです。
yをxで２回微分するときd2y/dx2と表したりします。
ここで
d2y/dx2=(d2y/dt2)/(d2x/dt2)としないように注意してください。(間違いです)
実際は
d2y/dx2={d(dy/dx)/dt}/(dx/dt)になります。
例としてx=cos3t, y=sin3tのときの微分を考えてみましょう。
dy/dx=(sin3t)'/(cos3t)'
=3sin2t*cost/-3cos2t*sint (∵三角関数の合成関数の微分)
=-tant ◾️
d2y/dx2=(-tant)'/(cos3t)'
=(-1/cos2t)/-3cos2t*sint
=1/3cos4t*sint ◾️
今回はパラメータ表示された関数の微分を２回微分まで考えて示しました。
今後どれだけ今回示した式を使うかは分かりませんが、xとyをそれぞれ微分するだけなので実際問題を解いてみるとそれほど難しくないですよね。
今後も微分についての話を続けていきますので、１つずつしっかりと理解していきましょう。
