はさみうちの定理(関数)

　こんにちは！蟹の目です。
今回は関数の極限におけるはさみうちの定理と他いくつかの式について示したいと思います。例によって|l|を避けるため文字をlと変えて示したいと思います。
(文字なんて正直なんでもいいですからね…)

それでは、はさみうちの定理について証明していきましょう。

　f(x)≦h(x)≦g(x), f(x)→p (x→a), g(x)→p (x→a)となる
関数f(x),g(x),h(x)を考える

　^∀ε>0をとると
^∃δ₁>0[0<|x-a|<δ₁⇒|f(x)-p|<ε]
^∃δ₂>0[0<|x-a|<δ₂⇒|g(x)-p|<ε]
δ₀=min(δ₁,δ₂)とすると

　0<|x-a|<δ₀のとき
p-ε<f(x)≦h(x)≦g(x)<p+ε
これはh(x)→p (x→a)を示す　◾️

　これは、私が追い出しの定理と呼んでいる定理です。
数列のときも証明しましたね。

f(x)≦g(x), f(x)→∞ (x→a)となる
関数f(x),g(x)を考える

　^∀M>0をとると
仮定から
^∃δ₀>0[0<|x-a|<δ₀⇒f(x)>M]

　0<|x-a|<δ₀のとき
M<f(x)≦g(x)

これはg(x)→∞ (x→a)を示す　◾️

　当然これと同じような証明で
f(x)≧g(x), f(x)→-∞ (x→a)⇒g(x)→-∞ (x→a)もいえます。

　これも言われればそれはそうでしょ、と思うような式ですが、
ε-δ論法で示してみようと思います。

　^∀ε>0をとると
仮定から
^∃δ₀>0[0<|x-a|<δ₀⇒f(x)>1/ε]

　0<|x-a|<δ0のとき
　|1/f(x)-0|
=1/|f(x)|
<1/(1/ε)=ε

これは1/f(x)→0 (x→a)を示す　◾️

　みなさん気がついていると思いますが
f(x)→-∞ (x→a)⇒1/f(x)→0 (x→a)も成り立ちます

　ここではあえて示しませんが、どうしても納得のいかない方は上と同じ方法で示してみてください。

　^∀M>0をとると
仮定から
^∃δ₀>0[0<|x-a|<δ₀⇒|f(x)|<1/M]

　0<|x-a|<δ₀のとき
|1/f(x)|>1/(1/M)=M

　f(x)>0のとき
f(x)>M
　f(x)<0のとき
f(x)<-M

よってf(x)>0でf(x)→∞ (x→a), f(x)<0でf(x)→-∞ (x→a)
まとめると、|1/f(x)|→∞ (x→a)　◾️

　今回の証明はどうだったでしょうか？
数列の極限のときのε-δ版なので、数列のときに理解できた方にとっては今回は簡単に感じたかもしれません。
　今回までに示した定理などは今後極限を求めるときなどに当たり前のように使用します。今後難しくなる前に理解できるように頑張りましょう。

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