実数の性質(問題)

　こんにちは！蟹の目です。
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大学数学入門(実数の連続性) - kaninome’s diary

にて実数の連続性についての定義などを述べましたので、
今回は問題を実際に解きながら、上限や下限について理解を深めてもらえたらと思います。

今回の問題

1. S={1-1/n;n∈N}とすると、
   infS=minS=0でsupS=1だがmaxSは存在しないことを示せ
2. Sが上に有界であるとき、
   Sに最大値が存在するための必要十分条件は
   supS∈Sであることを示せ 

　　示せばかりですがやっていきましょう！！

S={1-1/n;n∈N}とすると、
infS=minS=0でsupS=1だがmaxSは存在しないことを示せ

a^­­­­_n=1-1/n(n∈N)とかく

a₁=0, a₂=1/2, a₃=2/3, …となる

minS=0について

a₁=0∈Sであり
n≧1から1≧1/nであるから
a^­­­­_n=1-1/n≧0(n∈N)
よってminS=0

maxSは存在しないについて

「Sに含まれるどの数よりも大きな数がSの中に存在する」••♫
をいえばよい

a_n0(∈S)を任意にとると
a_n0=1-1/n₀<1-1/(n₀+1)=a_n0+1(∈S)
よって♫がいえる
ゆえにmaxSは存在しない

supS=1について

まず、上限の定義から
supS=(Sの上界の最小値)••①
a_n=1-1/n≦1(∈N)は
「1がSの上界である」••②を意味する
次に、
「1より小さな数はSの上界ではない」••③
を示したい
　そこで、0<ε<1である任意の正の数εをとる
このとき1<εn₀を満たすn₀∈Nをとると
1/n₀<ε
-ε<-1/n₀
1-ε<1-1/n₀=a_n0(∈S)

これは
「1-εがSの上界でない」を示している
よって、これは③を意味する

①,②,③から
supS=1

infS=0について

前回も記したが、Sに最小数がある場合、明らかにその値とSの下限の値は等しいので、
infS=minS=0　　◾️

Sが上に有界であるとき、
Sに最大値が存在するための必要十分条件は
supS∈Sであることを示せ 

　φ≠S(⊂R)とする

このとき、
maxSが存在⇔supS∈Sであり
(一方が成り立つときmaxS=supS)を示す

(十分条件)

a=maxSとおくと最大値の定義から
a∈S••①かつ
「すべてのx(∈S)に対してx≦a」••➁である
②から
「aはSの上界である」••③

一方、①から
「aより小さな数はSの上界ではあり得ない」••④

③,④から
a(∈S)=(Sの上界の最小値)=supS••⑤

(必要条件)

supS=aとおくと仮定から
a∈S••⑥
しかも、上限の定義からaはSの上界
すなわち
「すべてのx(∈S)に対してx≦a」••⑦

⑥,⑦は
a(∈S)=(Sの最大値)=maxS••⑧を示し
Sの最大値は存在する

(一方が成り立つときmaxS=supS)

⑤,⑧から成立する　　◾️

　今回は上限や下限に関する問題を2問解きました。
否定のしようのない証明を書くのは大変ですよね…

これから、たくさんの式や定理を示すことになるので、一緒に頑張りましょう！

また次回！！！